მრავალკუთხედი

...

  მრავალკუთხედი, ასევე პოლიგონი — გეომეტრიაში ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია მონაკვეთების სასრული რაოდენობით. ამ მონაკვეთებს მრავალკუთხედის გვერდები ეწოდება, ხოლო წერტილები, სადაც ეს გვერდები ერთმანეთს კვეთს, მრავალკუთხედის წვეროებია. სხვანაირად, მრავალკუთხედი ეწოდება მარტივ შეკრულ ტეხილს, რომლის მეზობელი გვერდები ერთ წრფეზე არ ძევს, მის მიერ შემოსაზღვრულ სიბრტყის ნაწილთან ერთად.

მრავალკუთხედის ორ წვეროს ეწოდება მეზობელი, თუ ისინი ერთსა და იმავე გვერდს ეკუთვნის. მრავალკუთხედის ორ გვერდს ეწოდება მეზობლი, თუ მათ საერთო წვერო გააჩნიათ. მრავალკუთხედში ორი არამეზობელი გვერდის შემაერთებელ მონაკვეთს დიაგონალი ეწოდება.

მრავალკუთხედის კუთხე ეწოდება იმ კუთხეს, რომელსაც მისი გვერდები ადგენენ (მრავალკუთხედის მხრიდან).

      

მრავალკუთხედის სახეები

სამი გვერდის მქონე მრავალკუთხედს სამკუთხედი ეწოდება, ოთხი გვერდის მქონეს – ოთხკუთხედი, ხუთისას – ხუთკუთხედი და ა.შ. n გვერდის მქონე მრავალკუთხედს n-კუთხედი ჰქვია. მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის აკმაყოფილებს ნებისმიერს შემდეგი პირობებიდან: 1) ძევს მის ნებისმიერ გვერდზე გამავალი წრფის მხოლოდ ცალ მხარეს;

2)წარმოადგენს ორი ნახევარსიბრტყის თანაკვეთას (მათი საერთო წერტილების სიმრავლეს);
3) მასში ნებისმიერად აღებული ორი წერტილის შემაერთებელი მონაკვეთი მთლიანად მრავალკუთხედს ეკუთვნის;

მაშასადამე, ნებისმიერი სამკუთხედი ამოზნექილი მრავალკუთხედია.

ამოზნექილ მრავლკუთხედს ეწოდება წესიერი, თუ მისი ყოველი გვერდი ტოლია და ყოველი კუთხე ტოლია. ამის მაგალითებია წესიერი (ტოლგვერდა) სამკუთხედი, კვადრატი და ა.შ.

ამოზნექილ მრავალკუთხედს ეწოდება წრეწირზე შემოხაზული, თუ მისი თითოეული გვერდიერთსა და იმავე წრეწირს ეხება. წრეწირში ჩახაზული მრავალკუთხედი ისეთ პოლიგონს ეწოდება, რომლის თითოეული წვერო ერთსა და იმავე წრეწირზე ძევს.

ცნობები ისტორიიდან[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

დეკარტმა სიბრტყეზე განლაგებული წირების შესასწავლად კოორდინატთა მეთოდი შემოიღო. ბუნების მეტყველების განვითარებამ აუცილებელი გახადა ფუნქციის ცვლილებების გამოკვლევა. განსაკუთრებით ისეთი ფუნქციებისა, რომლებიც მოძრავი სხეულების კოორდინატებისა და სხვა ფიზიკური სიდიდეების დროზე დამოკიდებულებას გამოსახავენ. წარმოებული გამოიყენებოდა ფუნქციის ექსტრემუმების მოსაძებნად, სხვადასხვაგვარი წირების მხების მოსაძებნად და ა.შ. დეკარტის, ფერმას და პასკალის პირველი შრომები არსებითად უკვე შეიცავდნენ ნებისმიერი მრავალწევრის წარმოებულის მოძებნის წესებას.

ამჟამად მათემატიკურ ანალიზს მათემატიკის იმ ნაწილს უწოდებენ, რომელიც დიფერენციალურ და ინტეგრალურ აღრიცხვას შეიწავლის. სისტემური მოძღვრება წარმოებულის შესახებ - დიფერენციალური აღრიცხვა განავითარეს გერმანელმა მატემატიკოსმა და ფილოსოფმა გ. ლაიბნიცმა (1646-1716) და ინგლისელმა მათემატიკოსმა და თანამედროვე მათემატიკური ბუნებისმეტყველების ფუძემდებელმა ი. ნიუტონმა (1643-1727).

რიცხვითი ფუნქციის ისეთი განსაზღვრება, რომელიც ამ ცნებას მოცემის ხერხისგან ათავისუფლებდა ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ჩამოაყალიბეს რუსმა მათემატიკოსმა ნ. ლობაჩევსკიმ 1834 წელს და გერმანელმა მათემატიკოსმა ლ. დირიკლემ 1837წელს. ამ განსაზღვრებათა ძირითადი იდეა ის იყო, რომ არ არის არსებითი, თუ თითოეულ X-ს როგორ შეესაბამება გარკვეული T(X) მნიშვნელობა. მნიშვნელოვანია მხოლოდ ის, რომ ეს შესაბამისობა დამყარებულია.

ფუნქციის ზღვარი[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

ფუნქციის ზღვრის ცნების თვალსაჩინო აზრი XVII საუკუნის მათემატიკოსისათვის ნათელი იყო. მათ შეეძლოთ ზღვრების სწორად პოვნა, მაგრამ მიმდევრობის ზღვრისა და ფუნქციის ზღვრის ცნებების მკაცრი განსაზღვრებები, რომლებიც დღემდეა შენარჩუნებული, მხოლოდ ფრანგი მატემატიკოსის ო. კოშის (1784-1857) მიერ იყო მოცემული და დიდხანს ყველასთვის არ იყო გასაგები.

ო. კოშის თანახმად ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრება ასე ჩამოყალიბდება: "A რიცხვს ეწოდება f(x) ფუნქციის ზღვარი, როდესაც x მიისწრაფვის a-სკენ, თუ ნებისმიერი ε>0 რიცხვისათვის შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ>0 რიცხვი |f(x)-A|<ε ყველა იმ x-ისათვის, რომელიც 0<|x-a|<γ უტოლობას აკმაყოფილებს".

f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობა, როდესაც x≈a, შეიძლება ნებისმიერი წინასწარ მოცემული სიზუსტით შესრულდეს. მართლაც |f(x)-A| გამოსახულება არის f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობის აბსოლუტური ცდომილება. ის, რომ f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობა, როდესაც x≈a, სრულდება ნებისმიერი, წინასწარ მოცემული სიზუსტით, ნიშნავს შემდეგს: გამოთვლის რა სიზუსტეც უნდა ავიღოთ, x≈a მიახლოებითი ტოლობის აბსოლუტური ცოდმილებისათვის შეგვიძლია შევარჩიოთ ისეთი საზღვარი _მას დადებითი γ რიცხვით აღნიშნავენ, რომ, როდესაც 0<|x-a|<γ, მაშინ f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობის ცდომილებისა, გამოთვლის მოცემული სიზუსტის საზღვრებში დარჩება, ე.ი. |f(x)-A|<ε.

მაგალითისათვის მოვიყვანოთ შემდეგი f(x)→A და g(x)→B, როდესაც x→a, მაშინ f(x)+g(x)→A+B, როდესაც x→a. ავიღოთ ნებისმიერი დადებითი ε რიცხვი, მაშინ ε/2>0 და ამიტომ :

1. f(x)→A, როდესაც x→a პირობიდან გამომდინარეობს, რომ შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ₁>0 რიცხვი, რომ

|f(x)-A|<ε/2

ყველა იმ x-სათვის, რომლებიც 0<|x-a|<γ₁ უტოლობას აკმაყოფილებს.

2. g(x)→B, როდესაც x→a, პირობიდან გამომდინარეობს,რომ შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ₂>0 რიცხვი, რომ

|g(x)-B|<ε/2

ყველა იმ x-სათვის, რომლებიც 0<|x-a|<γ₂ უტოლობას აკმაყოფილებს. γ₁ და γ₂ რიცხვებიდან უმცირესი ავღნიშნოთ γ-თი. მაშინ ნებისმიერი x-სათვის, რომელიც 0<|x-a|<γ უტოლობას აკმაყოფილებს, შესრულდება (1) და (2) უტოლობები. ამ x-ებისათვის გვაქვს : |(f(x)+g(x))-(A+B)|=|(f(x)-A)+(g(x)-B)|<=(ნაკლები ან ტოლი)|f(x)-A|+|g(x)-B|<ε/2+ε/2=ε

ამით დამტკიცდა, რომ f(x)+g(x)→A+B, როდესაც x→a. დანარჩენი წესები ანალოგიურად მტკიცდება.

XVII საუკუნეში მატემატიკაში მომხდარი ძირეული გადატრიალების მკაფიო დახასიათება მოგვცეს კარლ მარქსმა და ფრიდრიხ ენგელსმა. ენგელსი წერდა: "მათემატიკაში მობრუნების პუნქტი იყო დეკარტის ცვლადი სიდიდე. ამის წყალობით მათემატიკაში შევიდა მოძრაობა და დაიალექტიკა".

XVII საუკუნის ბევრი მათემატიკოსის ლოზუნგი ასეთი იყო : "იარეთ წინ და შედეგების სისწორის რწმენა თქვენთან მოვა".

მატემატიკური ანალიზის საწყისებმა მხოლოდ XIX საუკუნეში კოშის შრომების შემდეგ მიიღო ლოგიკური დასაბუთება. კერძოდ, ამისთვის აუცილებელი იყო ნამდვილ რიცხვთა მკაცრი თეორია. ეს თეორია კი მხოლოდ XIX საუკუნის მეორე ნახევარში განავითარეს ვაიერშტრასმა, დედეკინდმა და კანტორმა.